Any One означає "будь-яка людина або предмет з групи людей або предметів".

Наприклад:
I can recommend any one of the books on this shelf.
Я можу порекомендувати тобі будь-яку з книг на цій полиці.

Anyone означає "будь", "хто-то", "хто-небудь", "хто завгодно" і т. п. Завжди пишеться одним словом.

Наприклад:
Did anyone see that UFO?
Хто-небудь бачив це НЛО?